Por qué tanta gente compra la lotería de Navidad en Doña Manolita

02/12/2009  

La última vez que estuvimos en Madrid nos topamos con una cola inmensa de personas que llegaba a rodear uno de los edificios de Gran Vía. Bueno, en realidad con dos: una iba a ser engullida por las rebajas-chollo de productos Jimmy Choo y otra era ingerida con parsimonia por la pequeña puerta de la muy veterana -instalada en 1931- administración de loterías Doña Manolita. Para no decir lo que verdaderamente pienso de la primera cola, dedicaré esta entrada a la segunda :)

¿Por qué la gente va a comprar lotería donde mucha gente va a comprar lotería? Esto se aplica no sólo a lo que pasa en Doña Manolita, sino también a la gente que va a La Bruixa D’or (en Sort) o que busca los billetes en grandes ciudades, para ver si así tiene más suerte.

Un científico diría que es pura superstición, lo que es cierto en el caso de la gente que compra el número que coincide con su aniversario de bodas, o con la enésima candidatura de Madrid a las Olimpíadas, o que lo busca en una ciudad que ha sufrido recientemente una desgracia (esto último se sitúa entre el morbo y lo miserable: leñes, déjales a los que viven allí que les toque, no te lo lleves tú). Pero no me refiero a eso, sino a cuando todo el mundo compra donde mucha gente compra.

Un psicólogo diría que las masas atraen a las masas (y no le faltaría razón en su análisis: si todo el mundo compra de esa manera, tiene que ser mejor, ¿verdad? Así se hizo rico Bill Gates). Un informático, que no suele vivir muy pegado a la realidad, diría que todos esos cerebros humanos necesitan un reseteo. Un estadístico… Aah, un estadístico diría que la gente confunde las causas con los efectos.

Asumamos que la probabilidad de ganar algo en una lotería que reparte N números distintos es uniforme, es decir, que los bombos de la lotería no están trucados. No quiero meterme en muchos detalles de la división en décimos de los números ni nada de eso, porque mi intención es explicar eso que pensaba el estadístico de una forma simple… Así que vamos a simplificar de nuevo suponiendo que sólo se reparte un premio y que cada persona sólo compra un número (no un décimo). Ninguna de estas simplificaciones afectan a lo que viene ahora.

Si esto es así, la probabilidad de que toque algún premio en mi compra es \frac{1}{N}. Como N es muy grande, mi probabilidad es muy pequeña, casi insignificante, y por eso sigo teniendo sólo unos minutos al día para escribir en este blog como divertimento, en lugar de estar pegándome la vida padre (es que mi santa siempre compra el boleto equivocado ;P).

¿Cómo puedo aumentar mis probabilidades de ganar? Pues comprando más números, claro :) O sea, gastándome más dinero. Llegará un momento en que mis costes superen a mi esperada ganancia, pero tampoco nos metamos en esos berenjenales (de hecho la lotería por Internet está aprovechándose de la posibilidad de comprar muchos números entre mucha gente para supuestamente aumentar la probabilidad de éxito).

El caso es que como no me quiero gastar más dinero, voy a Doña Manolita, o compro un número (o décimo) en Madrid, que es más grande que Málaga, y claro, por tanto va a tocarme más probablemente.

No. Falso. Estoy confundiendo causas con efectos.

Estadísticamente hablando, estoy haciendo el siguiente razonamiento: digamos que A es el evento “toca el premio en el billete que tengo” y que B es el evento “toca el premio en algún billete que vende Doña Manolita (por poner)”. Está claro que P(A)=\frac{1}{N} y que P(B)=\frac{M}{N}, donde M es el número de billetes que reparte (vende) Doña Manolita. Obviamente, se puede observar que, siendo M bastante grande por el afán de los consumidores, P(A)\ll{P(B)}.

El razonamiento erróneo que me hago inconscientemente es el siguiente: dado que es más probable que toque en Doña Manolita (porque hay más gente que compra allí, concretamente M personas), si toca en Doña Manolita es muy probable que me toque a mí, porque me estaré repartiendo las posibilidades entre M personas, que a pesar de ser muchas, es mucho mejor que repartirlas entre N, que es toda la población española… Puesto matemáticamente, estoy diciendo lo siguiente: P(A\mid{B})=\frac{1}{M}\gg\frac{1}{N}=P(A).

Esta fórmula está algebraicamente bien construida: la probabilidad de que me toque un billete (evento A) comprado en Doña Manolita, dado que efectivamente ha tocado alguno en Doña Manolita (dado el evento B), se reparte uniformemente entre los M compradores de Doña Manolita, lo que me es más favorable que si se repartiera uniformemente entre los N pobladores hispánicos.

El problema es que, aunque algebraicamente correcta, la fórmula es semánticamente inválida y por tanto no debería haber tenido la osadía de expresarla: la probabilidad condicionada de un evento a otro (P(A\mid{B})) se define como la probabilidad de que se dé A dado que ya se ha dado B. Y ahí está el quid. Cuando se reparten los premios, primero se decide si se da A o no (o sea, toca el premio en mi billete o no) y sólo luego se puede saber si ha tocado en Doña Manolita o no (sabiendo si el billete ganador fue vendido allí o no).

Dicho de otra manera: que toque en Doña Manolita o no es un efecto (consecuencia) de que primero le toque a alguien o no, no una causa, como pensamos intuitivamente. La intuición es muy necesaria en la vida: está muy bien para tomar decisiones rápidas y/o aproximadas, en ocasiones no muy lejanas de las mejores, lo que nos viene muy bien cuando no tenemos tiempo de reacción o datos suficientes. Pero no está tan bien cuando sí hay tiempo y datos, y podemos planificar racionalmente -o sea, montar una cadena de razonamientos que lleven al mejor resultado-.

Si fuéramos Mr. Spock no tendríamos intuición, sólo raciocinio, y no usaríamos el hecho de que ha tocado en Doña Manolita como evento B sobre el que condicionar la probabilidad de que me toque a mí (evento A). Mr. Spock diría que para que yo pudiera usar ese razonamiento y fuera semánticamente válido, el sistema de loterías no podría funcionar como funciona, sino que primero habría un bombo que decidiría en qué administración (o ciudad, o lo que se quiera) iría a parar el premio, y luego otro que diría a qué número le toca de entre los de ese lugar solamente.

Obviamente, ninguno somos Mr. Spock. Seguirán formándose colas en Doña Manolita, y en la Bruixa d’Or, y se le pedirán a los familiares que uno tiene desperdigados por ciudades grandes que compren, y esas cosas. Qué le vamos a hacer. Parece divertido olvidarse por un momento de las leyes físicas y dejar libre nuestra imaginación irracional. Por eso somos humanos :)

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