Iker Jiménez vs. la Teoría de la Probabilidad: el misterio de la hora del coche capicúa

Pues sí: hay muchas veces que miramos el cutre-reloj de nuestro cutre-coche, normalmente al aparcar y al salir de un aparcamiento (no me preguntéis por qué nos da por mirarlo justo en esos momentos) y nos encontramos una bonita hora capicúa. Tenemos pruebas tomadas directamente del cutre-reloj con la cutre-cámara de mi cutre-teléfono móvil. Ésta de abajo es sólo una de ellas, lo que estadísticamente hablando no dice nada, pero vosotros me creéis cuando os digo que esto nos pasa uno de cada dos días aprox.:

Como podéis comprender, una mente científicamente entrenada, a pesar de llevar sufriendo durante meses constantes e intensivos ataques de burocracia y de proceso de Bolonia, no puede conciliar el sueño sin desentrañar estos efectos místicos que Iker Jiménez achacaría al próximo despertar templario de las fuerzas telúricas de Merlín (predicho por San Malaquías).

Este cutre-reloj nuestro no muestra segundos y es de formato 12 horas. Para encontrar un número capicúa en tal cutre-reloj podemos dividir el espacio de las horas del día en cuatro casos: i) cuando son entre las 0:00 am y las 9:59 am (el dígito de enmedio no importa entonces: basta con que coincidan los de los extremos para que la hora sea capicúa), ii) cuando son entre las 10:00 am y las 12:59 am, iii) cuando son entre las 1:00 pm y las 9:59 pm (parecido al caso i pero de menor duración), y iv) cuando son entre las 10:00 pm y las 11:59 pm (parecido al caso ii pero de menor duración). Llamaremos al caso con la letra c \in \lbrace \mbox{i,ii,iii,iv} \rbrace, y sabemos la longitud en horas de cada caso: 10 para c=i, 3 para c=ii, 9 para c=iii y 2 para c=iv, que, como es lógico, suman 24 horas, cubriendo todo el día.

Supongamos que miramos el reloj en cualquier momento del día con la misma probabilidad. Queremos saber si se estará mostrando una hora capicúa. En teoría de la probabilidad, esto supone que podemos definir una distribución de probabilidad de dominio discreto e imagen continua acotada:

\begin{array}{lcl} P: \lbrace A,B \rbrace \rightarrow \lbrack 0,1 \rbrack \\ \sum_{x \in \lbrace A,B \rbrace} {P(x)} = 1 \end{array}

donde “es capicúa” es el evento A, y “no es capicúa” el B, y, como muestra la segunda línea, la suma de imágenes de la función correspondientes a todos los elementos del dominio debe ser 1 para que se considere bien definida como función de distribución de probabilidad. En nuestro caso, como ambos elementos del dominio son excluyentes, se puede decir además que tenemos una distribución de probabilidad de Bernoulli, aunque no añada mucho a este análisis:

P(x)=\begin{cases} p & \mbox{si }x=A \\ q=(1-p) & \mbox{si }x=B \end{cases}

de la que no sabemos cuánto vale p (que es la cuestión).

Siguiendo una aproximación frecuentista (me encanta decir esto), en el caso i definido antes nos encontramos con que la probabilidad de que la hora sea capicúa será 1 (= será ciertamente capicúa) un minuto de cada diez, o sea, P(A \mid \mbox{caso i})=\frac{1}{10}. Nótese que esto es una frecuencia, y al ser constante durante el caso al que se aplica, no es influida por lo que dure ese caso (el i). En el caso iii se cumple lo mismo -hay la misma frecuencia de capicúas aunque ese caso sólo dure 9 horas-: P(A \mid \mbox{caso iii})=\frac{1}{10}. En los casos ii y iv es distinto. En el caso ii, dado que hay 60 minutos posibles (del “00” al “59”) y 3 horas posibles (de las “10” a las “12”), sólo en 3 de esos minutos posibles (el “01”, el “11” y el “21”) se podría dar la coincidencia; o sea, en el caso ii la hora será capicúa durante 3 minutos de las 3 horas, o, usando minutos como unidad de tiempo, P(A \mid \mbox{caso ii})=\frac{3}{180}; para el caso iv el razonamiento es similar pero sólo dura 2 horas, llegando a P(A \mid \mbox{caso iv})=\frac{2}{120}.

Con estos datos y el teorema de la probabilidad total se puede formalizar el cálculo del valor de p:

p=P(A)=\sum_{c \in \lbrace i,ii,iii,iv \rbrace} {P(A \mid c) P(c)}

Como hemos calculado arriba la duración en tiempo, durante un día entero, de cada caso, sabemos sus frecuencias relativas, o sea, que P(\mbox{caso i})=\frac{10}{24}, P(\mbox{caso ii})=\frac{3}{24}, P(\mbox{caso iii})=\frac{9}{24} y P(\mbox{caso iv})=\frac{2}{24}, con lo que tenemos:

p=P(A)=\frac{1}{10}\frac{10}{24}+\frac{3}{180}\frac{3}{24}+\frac{1}{10}\frac{9}{24}+\frac{2}{120}\frac{2}{24} \simeq 0.083

Lo que viene a decir que, si miramos el reloj al azar en cualquier momento del día (con la misma probabilidad), tendremos que casi 1 de cada 10 veces -un poquito menos- nos encontraremos un valor capicúa, lo cual era lógico puesto que los casos ii y iv apenas tienen probabilidad de suceder -son muy pocas horas a lo largo del día-, y por tanto quienes dominan son los otros dos, que tienen una probabilidad de capicúa de \frac{1}{10}.

Bueno, esto es malo para una mente científica: según la teoría de la probabilidad ni de lejos te vas a encontrar la frecuencia que nosotros observamos en el mundo real y boloñés de nuestro cutre-coche. Aquí podría Iker levantar la mano y achacar nuestra sobreabundancia capicuística a una profecía de la voluntad celeste escrita en papiro por San Malaquías (y guardada por el Priorato de Sión en algún rincón oculto de Bretaña).

Ah, amigos, pero es que la suposición “miramos el reloj en cualquier momento del día con la misma probabilidad”, escrita más arriba, no se da en nuestro caso exactamente… Como he dicho al principio, miramos el reloj al salir o entrar en un aparcamiento, o sea, cuatro veces al día los días que cogemos el coche (si cogemos el coche no volvemos a comer a casa). Además, ninguna de esas entradas/salidas de aparcamiento suele caer en los casos ii ni iv (esos casos no reflejan horarios normales de entrada/salida al trabajo… por ahora). Por tanto, cada vez que miramos el reloj tenemos una probabilidad de que sea capicúa igual a la que se tiene en los casos i o iii, es decir, para nosotros es más exacto suponer P_{\mbox{nosotros}}(A)=\frac{1}{10}. Pero es que, además, el día que miramos el reloj lo hacemos cuatro veces: al salir del aparcamiento, al entrar en el otro, y viceversa, y, dado que esos momentos son independientes en el tiempo, tenemos que la probabilidad de que un día que cojamos el coche veamos alguna hora capicúa es 4P_{\mbox{nosotros}}(A)=0.4.

O sea, 4 días de cada 10 en que usemos el coche, o, lo que es lo mismo, casi 1 de cada 2 días.

Lo que yo había dicho.

Hale, Iker, ahora vas y lo cascas 🙂

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